Men nu har du ikke noget tårn længere

I går blev jeg af grunde, som det ikke er værd at gengive, præsenteret for følgende spørgsmål: Hvis du flytter en bonde diagonalt i et spil skak, har du så flyttet en bonde som en løber, eller har du flyttet en løber forklædt som en bonde? Spørgsmålet er selvsagt temmelig forvirret i denne form, og en del afklaring og uddybning af eksemplet er nødvendig, før et klart spørgsmål træder frem - og desuden er det uklart hvorvidt der overhovedet er noget dybt problem her.

Grunden til at antage, at der ikke er noget dybereliggende på færde her, kommer fra følgende plausible synspunkt: En skakbrik er defineret ved reglerne for dens potentielle træk. Det synes at være temmeligt klart, at der ikke kan være andet og mere, der indvirker på om et bestemt objekt er en skak-bonde eller -løber, -dronning etc., end hvorvidt dette objekt bruges til at spille skak med og hvilke regler det overholder. Mange har sikkert spillet mere end et spil skak hvor en mønt, en blyantspidser eller en korkprop er blevet brugt som bonde, løber el.lign. Tag f.eks. et spil, hvor en 5-krone bliver brugt som tårn. Pointen med ovenstående karakterisering af skakbrikker er, at i disse tilfælde er der simpelthen ikke mere at sige, end at 5-kronen er et tårn i dette spil. Årsagen er, at så længe begge spillere indbyrdes accepterer, at 5-kronen er underlagt reglerne for tårnet så længe spillet er i gang, så er 5-kronen et tårn. Ikke specielt dybt indtil videre.

Faktisk gælder noget lignende for temmeligt mange af de ting, vi normalt omgiver os med. F.eks. 5-kroner. Så længe der eksisterer en konvention i et samfund om at betragte et bestemt objekt x som en 5-krone, så er x en 5-krone. Det er naturligvis sandt, at vi har udvalgt bestemte myndigheder til at fremstille objekter af en bestemt type (metalskiver af en vis størrelse med besteme mynstre osv.), og at vi under ingen omstændigheder vil acceptere, at noget andet (f.eks. en knap) kan bruges til at betale nogen 5 kroner med. Men dette er irrelevant, hvad angår spørgsmålet om, hvad der skal til for at et bestemt objekt x er en 5-krone. Der er intet selvmodsigende i at forestille sig, at der blev udstedt en lov, ifølge hvilken f.eks. alle sorte knapper kunne bruges til at betale 5 kroner med hver anden lørdag. I så fald ville disse knapper være 5-kroner hver anden lørdag - at antage andet er at antage, at det kræver mere for at være en 5-krone, end at en konvention hersker, ifølge hvilken det relevant objekt bruges som en 5-krone, og dette er åbenlyst fejlagtigt.

Dette vil naturligvis blot sige, at når der spilles et spil skak, hvor en 5-krone bruges som tårn, så er der intet andet på færde, end at et og samme objekt x er konventionelt vedtaget at udfylde to forskellige roller for en kort tid (så længe skakspillet står på eller så længe lovgivningen ikke ændrer sig mht. hvad der gælder som 5-kroner, etc.). En tilskuer til ovennævnte skakspil kunne f.eks. meget vel tilbyde en af spillerne en cigaret for 5 kr., hvorved spilleren kunne tage mynten fra brættet og betale for cigaretten med den. Ingen ville indvende, at man ikke kan betale 5 kr. med et tårn! Snarere ville folk sige, "Fint nok - men nu har du ikke noget tårn længere."

Svaret på vores indledende spørgsmål, givet den åbenlyse måde at afklare det på, kan således kun være, at så længe et stykke træ bruges som en løber i et bestemt spil, giver det ingen mening at spørge yderligere til, hvorvidt det er en løber. Og det er naturligvis fuldkommen irrelevant, hvorvidt dette stykke træ har en form, som normalt kendetegner træstykker, der bruges som bønder. Dette er fuldkommen ligesom 5-kronens form, og det eneste "dybere" i dette spørgsmål er, at objektet (træstykket) her er udformet på en måde, der signalerer en rolle som også har noget med skak at gøre.

Fra grænselandet: Et adækvat sæt af konnektiver og noget om syntaks

Da jeg forleden havde en af disse nætter, hvor man har arbejdet for meget, hvor man svæver mellem søvn og vågen tilstand i en feberlignende, tynd bevidsthed, opdagede jeg pludselig, at der i min bevidsthed havde materialiseret sig et adækvat sæt af konnektiver for klassisk sætningslogik, som jeg ikke mindes at have set før. Ideen er simpel. Vi lader konkatenering være konjunktion, og bruger '(' og ')' til at repræsentere negation. En semantik herfor er givet således, hvor v er en evaluering (og hvor 'hviss' er en forkortelse af 'hvis og kun hvis'):

(1) v[AB] = 1 hviss v[A] = 1 og v[B] = 1.
(2) v[(A)] = 1 hviss v[A] = 0.

- hvor 'A' og 'B' er formler af arbitrær kompleksitet. Nogle eksempler:

(i) Den materielle implikation repræsenteres som (A(B)). Det er let at vise at ovenstående giver resultatet

v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[B] = 1.

Bevis:
Givet (2) er v[(A(B))] = 1 hviss v[A(B)] = 0. Givet (1), er v[A(B)] = 0 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1.

(ii) Som dette antyder, repræsenteres disjunktion som ((A)(B)). Endnu engang er det let at se, at vi får

v[((A)(B))] = 1 hviss enten v[A] = 1 eller [B] = 1.

Bevis:
Givet (2), er v[((A)(B))] = 1 hviss v[(A)(B)] = 0 hviss enten v[(A)] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss enten v[A] = 1 eller v[B] = 1.


(iii) En mere kompleks formel, som i standard notation ville være repræsenteret af ((-A v B) & A) --> B bliver repræsenteret som følger:

((A)(B)A(B))

- hvilket ses af at ovenstående, i standard notation er ækvivalent til -((-(A & -B) & A) & -B).

(iv) Vi kan også vise at (A(B))A er ækvivalent til B, som det skal være:

Antag for reductio at v[(A(B))A] = 1 og v[B] = 0. Givet (1), er v[(A(B))A] = 1 hviss v[(A(B))] = 1 og v[A] = 1. Siden v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0, og v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1, giver begge disjunkter en kontradiktion. Så (A(B))A er ækvivalent til B.

Som ønsket er formlen i (iii) ovenfor derfor en logisk tautologi. Bevis:

Antag for reduction at v[((A)(B)A(B))] = 0. Givet (2), har vi i så fald v[(A)(B)A(B)] = 1. Så vi har v[A] = 0 og v[B] = 0 og v[A] = 1. Kontradiktion!

----

Mere interessant er det at spekulere over, hvorfor forskellige notationsarter er ækvivalente, sådan som denne og standarnotationen tilsyneladende er. For at få hold på emnet, kan vi spørge os selv, hvad det er ved min nye notationsform, der gør, at den virker, så at sige. Et relevant spørgsmål at starte med er, hvorfor den ikke resulterer i flertydige udtryk. Man kunne måske frygte at dette ville være tildfældet simpelthen fordi paranteserne ikke bliver brugt til at repræsentere scope, men i stedet bruges til at repræsentere negation. Grunden til at der ikke opstår flertydige udtryk synes at være den, at strenge som '((A(B))A)' ikke efterlader nogen tvivl om, hvad de to negationers respektive scope er, nemlig hhv. 'A(B)' og '(A(B))A'.

Men hvorfor er vi sikre på, at negationen i '(A)B' kun rækker over 'A'? Det er klart, at der er en definition af rækkevidde implicit her, som naturligvis skal være eksplicit i en ultimativ definition af det sprog, vi er interesseret i. Noget i retning af følgende: En negation '( ... )' rækker over det syntaktiske materiale der ligger mellem '(' og ')'. Men her antager vi selvfølgelig, at vi ved, hvad det vil sige at ligge imellem to symboler.

Det synes at være åbenlyst, at syntaksen udnytter visse materielle egenskaber ved det medium, vi anvender. For eksempel kan vi forestille os et fuldkomment adækvat sprog, som kun kan udtrykkes mundtligt, og som består af mundtlige udsagn af formler som 'A' og 'B' og visse designerede håndbevægelser, der vil svare til hhv. '(' og ')', f.eks. hhv. et fingerknips med venstre hånd og et fingerknips med højre hånd. Vi vil således kunne udtrykke '(A)B' på følgende måde:

fingerknips:venstre udtalt:A fingerknips:højre udtalt:B

Naturligvis er vi også nødt til at vide, at formlen begynder med det første knips og slutter når udtalelsen af 'B' er færdiggjort. Igen ser det ud, som om, vi udnytter visse fysiske aspekter af mediet, i dette tilfælde højre/venstre orientering og tidslig udstrækning.

Formentlig kan alt dette ultimativt gives et rent fysisk fundament, således at et sprogs syntaks kan defineres utvetydigt i udelukkende fysiske kategorier.

Balke og Brandes

Jeg mener, at jeg første gang opdagede Peder Balke (norsk maler, 1804-87), da jeg af uransagelige grunde blev præsenteret for bogen Peder Balke. Trick, Depth and Game (1996) af Per Kirkeby - jeg bilder mig ind, at dette skete i forbindelse med en udstilling på Kunstforeningen omkring 2001-2. (Bogen er temmeligt vanskelig at opdrive, men der findes i skrivende stund et eksemplar i Kirkegaards Antikvariat i København til kr. 300.) Hvilken udstilling, der er tale om, og hvorfor Kirkebys bog dukkede op i denne sammenhæng, fortaber sig. Ligesåvel som det meget vel kan være, at jeg i det hele taget husker forkert. Måske har jeg aldrig set Kirkebys bog.

Under alle omstændigheder fik jeg siden hen blandet Balke sammen med Peter Brandes (dansk maler, f. 1944). Formentlig først og fremmest fordi navnene er så ens. Sidstnævnte kendte jeg fra hans illustrationer til Otto Steen Dues oversættelse af Iliaden (og andre klassiske værker oversat af Due), som udkom 1999, altså omtrent samtidigt med, at jeg mener at have stiftet bekendtskab med Balke første gang. Navneassociationen er nok ikke den eneste årsag til, at disse to kunstnere smeltede sammen i min bevidsthed. På trods af den kronologiske forskel, og selv om Brandes' Homer illustrationer fortrinsvist afbilder individer, og Balkes malerier næsten udelukkende beskæftiger sig med landskab, er de - i hvert fald for mig - sammenlignelige. Tag f.eks. illustrationen til Iliadens Niende Sang, som også ses på forsiden af bogen (ovenfor). Skikkelsen til venstre med lyren er naturligvis Homer, hvis blindhed her illuderes vha. fremhævelse af øjenhulernes skygge og en art tilsløring af hele ansigtet, som om han bærer et slør. Personen til højre i billedet er formentlig Virgil, der pga. sin rolle som (endnu ufødt) arvtager til, og omdigter af, den homeriske tradition fremstilles uden ansigt og med blot antydningen af en fysisk tilstedeværelse. Virgils ansigt er stadig ukendt; vi er vidne til hans skabelse ud af den homeriske sang. Det er, som om den siddende Homer er en skulptør i færd med at mejsle Virgils skikkelse ud af en mælkehvid marmorblok. Samtidig er Niende Sang det sted i eposet, hvor Odysseus' rejse begynder, idet det er i Niende Sang, at Agamemnon sender ham af sted, i følgeskab med Ajax og Fønix, for at bede Achilleus om hjælp til at overvinde trojanerne. Og den ufuldstændige skikkelse til højre kunne da også meget vel være netop Odysseus; endnu en homerisk kimære. Det er således betydningsfuldt, at vi her får et billede af den skabende Homer - og ikke blot skabende som digter betragtet, men som fadder til hele den vestlige tradition - idet Odysseus naturligvis er den skikkelse, som indleder den europæiske litteraturhistorie.

Men det var Balke, det skulle handle om - delvist i det mindste. Jeg indrømmer, at sammenligningen med Brandes er noget af en idiosynkrasi. Det er vanskeligt at forklare årsagen, men på den ene eller anden måde står deres stil for mig som stærkt beslægtet. Man kan naturligvis forsøge sig med velkendte klichéer: Der er i begge tilfælde tale om en grundlæggende ekspressionisme. Ligesom Turner, som han oftest sammenlignes med, er Balke ikke (kun) interesseret i den impressionistiske kortlægning af lysets indvirken på øjet. Seurat (1859-91) f.eks. havde studeret sin samtids videnskabelige viden om optik; han havde læst Chevreuls afhandlinger om hvordan lyset er inddelt i et farvespektrum, og hans pointilisme, som han selv kaldte 'divisionisme', er et forsøg på eksakt at bevare naturens farver ved at lade retinaen selv genkonstruere dem udfra det fine mønster af prikker, som malerens analyse af lyset efterlod på lærredet (se billede ovenfor). I modsætning hertil er Turner og Balke, ligesom van Gogh, ude efter at kortlægge noget ganske andet, nemlig den subjektive opfattelse af landskabet. Vi ser ikke længere naturens lys fanget inden for lærredets todimensionelle rum; i stedet ser vi et subjekts komplekse og emotionelt ladede bevidsthed projiceret ned over et genkendeligt motiv. Samme ekspressionisme, bredt forstået, kendetegner Brandes' illustrationer. Og dog er forskellen måske den, at det betydningslag, som Brandes projicerer over på motivet, er bredere end et enkeltsubjekts bevidsthed; det er i stedet en mytisk betydning, idet det der afbildes her er selve det komplekse forhold, der består mellem Homer, Odysseus og Virgil som legendarisk skikkelser og kunsthistoriske fænomener.

Derudover er begge kunstneres værker udført med en vis grad af spontanitet. Der er måske noget logisk i, at grundlæggende ekspressionistiske værker ofte udføres meget hurtigt. F.eks. var bl.a. Gaugin forbløffet over Vincents produktivitet - fire billeder om dagen sommetider - og hvem kan forestille sig en van Gogh roligt beregnende, hensunket i en seuratiansk intellektualisme?

Dog er det, der gør Balke og Brandes til slægtninge i min opfattelse formentlig, at begge på deres egen måde er opmærksomme på det materiale der males, eller tegnes, på og med. Hos Balke kradses, gnubbes og spyttes der på lærredet, sådan som Turner også havde for vane. Anekdoten går, at Turner engang vurderede en aspirerende elev ved at inspicere hans negle, og da mesteren fandt dem rene og uprøvede af pigment og maling, afviste han den håbefulde. Brandes' Homer illustrationer fremviser teksturen i kridtets streg, og selv i den trykte udgave af Iliaden fra Samlerens Bogklub virker det nærmest, som om siderne er smudset til af den sodede affarvning. Der er ligeledes noget sodet over Balkes præmoderne landskaber. Se f.eks. dette 'Fyrtårn på den norske kyst' fra 1850'erne (ovenfor). Når man ser malerierne i det virkelige liv, er det tydeligt, at den samme opmærksomhed på selve malingens tekstur, som også van Gogh var grebet af, går igen hos Balke.

----
Ordrupgaard huser i øjeblikket en paralleludstilling med værker af Balke og Kirkeby, der skrev den bog, som jeg nævnte ovenfor, og som eksplicit anerkender sin inspiration fra Balke. Kirkeby kaldte endog i 2008 et af sine malerier 'Balke'. Udstillingen kan varmt anbefales. (Det er den første udstilling med udelukkende værker af Balke uden for Norge!) Museets website har også et billedarkiv, hvor udvalgte af Balkes og Kirkebys værker kan opleves i højformat.