Primtal

Hvad er et primtal? Vi har lært et svar udenad: Et primtal er et tal, der mellem sine divisorer kun har sig selv og 1, dvs. et tal der kun kan deles (ligeligt) med sig selv og 1. Men hvad vil det sige? Her er en måde at opfatte det på.

De naturlige tal er (også) kardinaltal, dvs. i grov forstand angivende antallet af medlemmer af en given mængde. Hvis vi tænker på dem på denne måde, kan de naturlige tal anvendes til at klassificere forskellige kvanta. Lad os sammenligne to situationer, der hver især involverer 20 kugler arrangeret på et bord. I den første er de placeret sådan her (ignorér {'erne og kommaerne):

{0000},{00},{0000},

{00},{000},{0},{0},{00},{0}

I den anden sådan:

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

Hvad er forskellen? Begge situationer indholder 20 kugler, men for at beskrive forskellen på dem, er det naturligt at appelere til et begreb om en mængde. Gør vi det, kan vi beskrive forskellen på de to situationer ved at opfatte den første situation som én, hvori der er 9 mængder af kugler. Desuden virker det naturligt at sige, at nogle af disse mængder har noget tilfælles. Der er f.eks. 2 mængder, der hver indeholder 4 kugler; og 3 der hver indeholder 2 kugler; og 3 der hver indeholder kun 1 kugle. I den anden situation er der 20 mængder, der hver indeholder blot 1 kugle.

Dette skyldes formentlig, at vi intuitivt opfatter en mængde som noget, der har medlemmer. Og vi kan så angive hvor mange medlemmer en given mængde har. Vi bruger de naturlige tal til dette (så længe der er tale om finitte mængder). Går vi et skridt videre, er det klart, at hvis en mængde er noget, der har medlemmer, så er en mængde også noget, der kan deles i flere forskellige mængder. Vi kan sige, at de to situationer ovenfor repræsenterer to forskellige måder, hvorpå man kan dele en mængde, der består af 20 medlemmer.

Når man deler en mængde, får man andre mængder, og man kan igen spørge om antallet af deres medlemmer. Og vi kan nu begynde at klassificere mængder i forskellige kategorier. Her er tre eksempler:

(1) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 1 medlem.

(2) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 2 medlemmer.

(3) Mængder der kan deles i delmængder der hver har lige mange medlemmer.

Naturligvis hører alle mængder under (1) - grunden er, at for ethvert objekt findes der en mængde, der har dette objekt som medlem. Men kun nogle mængder hører under (2). Sidstnævnte er mængder der har hhv. 2, 4, 6, 8, 10 etc. medlemmer. Med andre ord, hvis vi begynder med en enkelt kugle, har vi en mængde, der ikke hører under (2). Lægger vi nu en kugle til, har vi en der opfylder (2), og tilføjer vi en tredje kugle får vi en mængde, der ikke opfylder (2). Mao. hver gang vi tilføjer en kugle til en mængde, kan vi forudse, hvorvidt resultatet vil opfylde (2), nemlig hvis og kun hvis den oprindelige mængde ikke opfyldte (2). De tal, der beskriver mængder, der opfylder (2), kalder vi 'lige' tal; og de tal, der beskriver mængder, der ikke opfylder (2), kalder vi 'ulige'.

Idet alle mængder opfylder (1), hører alle mængder også under (3). Men nogle mængder hører under (3), både fordi de opfylder (1) og fordi de opfylder betingelser som (2). Der er selvfølgelig tilsvarende betingelser med 3 medlemmer, 4 medlemmer, 5 medlemmer osv. Men for nogle mængder er den eneste grund til, at de hører under (3), at de hører under (1). Disse mængder er de, der beskrives af primtal.

Mere intuitivt kan vi sige følgende: Når vi begynder at eksperimentere med at dele mængder, finder vi hurtigt ud af, at der generelt er to måder at dele en given mængde på. Enten deler man mængden, så alle de resulterende mængder har lige mange medlemmer, ellers også er der mindst to resulterende mængder, der ikke har det samme antal medlemmer. Lad os sige at hvis en mængde deles så alle delmængderne har lige mange medlemmer, så er den ligeligt delt.

Nu opdager man, at for de fleste mængders vedkommende, kan man dele dem ligeligt på mere end en måde. F.eks. kan man dele en vores 20 kugler sådan:

{0000},{0000},{0000},{0000},{0000}

eller sådan:

{0000000000},{0000000000}

Desuden kan alle mængder deles ligeligt på mindst én måde, nemlig sådan at alle delmængderne har 1 medlem. Men nogle mængder kan kun deles ligeligt på én måde. F.eks. kan man kun dele en mængde med 3 medlemmer på følgende måder

{0},{00}

{0},{0},{0}

Kun den anden måde er ligelig, og det er den eneste ligelige måde at dele mængden på.

Et primtal er altså et tal der beskriver en mængde, der kun kan deles ligeligt på en måde, nemlig den måde hvorpå alle mængder kan deles ligeligt. Vi gør dette ved at dele mængden i det samme antal delmængder som den har medlemmer. Dvs. disse mængder kan kun opbrydes ligeligt i deres enkelte medlemmer - der er ingen ligelige måde at fordele medlemmerne i grupper på.

Vi har her udeladt mange ting. Først og fremmest har vi udeladt, at man normalt betragter enhver mængde som en delmængde af sig selv. Dette betyder, at vi må acceptere - selv om dette angiveligt er temmelig unaturligt - at man fra en given mængde kan få en mængde med det samme antal medlemmer. Derudover har vi udeladt, at man normalt betragter den tomme mængde som delmængde af enhver mængde. Dette sikrer også en anden vigtig regel, nemlig at hvis en mængde har x medlemmer, så har den 2^x delmængder. F.eks. har mængden {a,b,c} følgende 8 delmængder: {a,b,c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a}, {b}, {c}, Ø.

Men alt dette er ikke så vigtigt i forhold til det, vi var interesseret i, nemlig forholdet mellem (bestemte typer) naturlige tal og (bestemte typer) mængder. Selv om meget af det ovenstående virker som barnelærdom, er det en af de mest altafgørende kendsgerninger, at virkeligheden (i hvert fald den makroskopiske virkelighed) er således indrettet, at den fordeler sig på denne måde; og endnu mere slående er det, at vi besidder et talbegreb og evnen til at ræsonnere med det på en måde, der direkte korresponderer til denne fundamentale struktur. Det var dette, der oprindeligt fascinerede pythagoræerne, og som var drivkraften for al videnskab og filosofi herfra over Descartes til Newton og Kant og videre til Einstein og Bohr.

Gestillte Sehnsucht

Brahms' Zwei Gesänge für eine Altstimme mit Bratsche und Pianoforte, op. 91, blev skrevet til hans to venner, Amalie og Joseph Joachim, hvilket er den umiddelbare årsag til den noget atypiske besætning, altstemme og bratsch med klaverakkompagnement. Brahms kendte ægteparret godt og havde som bryllupsgave foræret dem en tidligere version af værkets anden sang, hans 'Geistliches Wiegenlied'. Parret var imidlertid gået fra hinanden. Og Brahms intention med at skrive de to sange til Amalie og Joseph bliver derfor almindeligvis fortolket som den at bringe dem sammen igen. Ikke helt urimeligt.

Alligevel behøver man ikke at have mere end en almindelig grad af fascination af skjulte spor for at ens tanke uundgåeligt bliver ledt videre. Titlen på op. 91's første sang, 'Gestillte Sehnsucht', lyder nærmest som en overskrift for det liv, som mange forbinder med Brahms - selv om grundene til dette, i hvert fald for undertegnede, altid har været mere eller mindre tågede. Man husker noget om en håbløs forelskelse i Schumanns hustru, pianisten Clara Schumann; og måske et eller andet sted at have læst eller hørt nogen sige, at Brahms, som kendte både Robert og Clara Schumann, måtte henslæbe hele sin voksne tilværelse i forstillelse. Men undersøger man sagen lidt nærmere, opdager man hurtigt, at Joachim på sin vis kan siges at være en del af den direkte årsag til Brahms' oprindelige møde med Clara Schumann.

Brahms blev kendt i sin samtid mest af alt pga. en turné i 1853 (samme år som billedet ovenfor er taget), hvor han akkompagnerede den ungarnske violinist, Eduard Reményi, og det var på denne turné, at han mødte den anden ungarer, Joachim. Sidstnævnte var slet og ret den mest berømte violinist i verden på den tid. Det var stadig 10 år, før han giftede sig med Amalie - der ved dette ægteskab mistede sit noget mere fantastiske pigenavn, 'Schneeweiss'. Joachim og Brahms må have fundet godt ud af det sammen - til trods for en skandaløs begivenhed under samme turné, hvor Brahms undlod at udvise tilstrækkelig reveneration for Liszts Sonate i h-mol ved mødet med den ældre, enigmatiske og pianistisk djævelske komponist. (Liszt, der som bekendt ligeledes var ungarer, spillede i øvrigt ved denne lejlighed Brahms' Scherzo op. 4 fra bladet som en venskabelig gestus.) I hvert fald var relationen mellem Joachim og Brahms tilstrækkeligt god til at førstnævnte udstyrede Johannes med en introduktionsskrivelse - sine qua non i datidens sociale omgangsform - til Schumann, der ligesom Liszt var ca. 20 år (en menneskealder på den tid) ældre end Brahms og en fast etableret del af den romantik, der spredtes fra den generations utvivlsomt mest indflydelsesrige komponist, Richard Wagner. Under alle omstændigheder mødte Brahms Schumann og hans familie senere på sine rejser og blev varmt modtaget i deres hjem i Düsseldorf.

Robert Schumann døde i 1856, altså blot tre år efter, Brahms havde mødt Joachim, og derfor ca. to år efter mødet med Schumann selv. Ikke desto mindre levede Clara Schumann yderligere 40 år. Hun døde i 1896, og året efter, i 1897, gik Brahms selv bort, 64 år gammel. Robert og Clara var blevet gift i 1840, med andre ord omtrent 10 år før Brahms mødte familien.

Joachim, der således var en form for katalysator for Brahms' møde med Clara Schumann, lod i 1884 sig skille fra Amalie pga. en mistanke om en affære med udgiveren Fritz Simrock. Brahms, der var overbevist om Amalies uskyld i denne sag, skrev et opmuntrende brev til hende, som hun senere brugte som bevismateriale i den retssag, Joachim førte mod hende. Som man havde kunnet forvente, medførte dette, at Joachim vendte Brahms ryggen. Deres venskab fornyedes ikke, før Brahms komponeret sin dobbeltkoncert for cello og violin, op. 120, som et direkte forsøg på at forsone Joachim. Med andre ord virkede Brahms' forsøg med op. 91 sangene ikke.

----
Lyt til 'Gestillte Sehnsucht' - uden tvivl min favorit af de to sange - her

14. juli 2009

Myth is neither a lie nor a confession: it is an inflexion.

- R. Barthes

Uden at have en fast plan med formiddagen, andet end at slentre rundt for at få fornemmelsen af at være ankommet, bevægede jeg mig efter at have drukket morgenens første kaffe op ad Boulevard St Michele. Undervejs besluttede jeg mig for Louvre - bedst at få det overstået første dag. Så jeg planlagde at gå over Pont Neuf og ind ad indgangen ud mod Seinen. Allerede da jeg kom op for enden af "Boul'Mich" hørte jeg en helikopter over tagene og adskillige flyvemaskiner i lav højde. Og da jeg skulle til at krydse Boulevard St Germain, fik jeg et glimt af et veteranfly, der brummede gennem den spalte af himlen, man kunne se mellem to bygninger. Men betydning var stadig ikke gået op for mig. Det var først, da jeg ankom til Louvre og en vagt henviste mig til et skilt, der fortalte, at museet var lukket, at jeg indså, hvilken dag det var. Men havde jeg ikke langt om længe draget slutningen uden hjælp, ville jeg utvivlsomt have fået den tvunget på mig blot få minutter senere. For da jeg kom ud på Rue de Rivoli var gaden spærret af for kørsel. Fortovene var dog stadig åbne ud mod kørebanen, hvor politifolk og fremmedlegionærer brugte råb og fløjter for at holde folk fra at træde ud på vejen. Og nu kom først en kolonne af 10-15 ambulancer og brandbiler - alle med fuld udrykning- kørende i langsomt tempo forbi. Brandfolkene vinkede til tilskuerne, som for nogles vedkommende klappede med løftede arme, for at man skulle kunne se dem fra vognene. Lidt efter begyndte en sekvens af militærgrønne og camouflerede køretøjer, som blæste forbi i høj fart, en 2-3 stykker af gangen. En kanonbærende firhjulstrukken vogn susede forbi med en enkelt sort officer stående oprejst op ad en tagluge. På grund af de mange tilskuere, og på grund af dens hastighed, så jeg den ikke, mens den kom mod os. Men i samme øjeblik, den passerede, drejede jeg skarpt hovedet tilbage. I et par sekunder holdt jeg mit blik fast på køretøjet og den på den sorte officer, mens begge hurtigt blev mindre og mindre, og lyden af motorens brølen fortabte sig ned ad gaden. Med Louvre på den ene side og et uidentificerbart palæ på den anden dannedes et perspektiv langs to søjlegangsfacader, og formentlig var dette en del af årsagen til den stemning, jeg blev blev grebet af. Pludselig fik paradens enkelte elementer deres betydning fra deres delagtighed i helheden. Den sorte soldats bordeaux baret, hans rigide epauletter og stift fremadskuende ansigt med dets lette smil antog af en eller anden grund en form for betydning. Men det var ikke højtidelighed, der greb mig. Jeg var ikke bevæget af de applauderende tilskueres åbenlyse stolthed over deres nations fremmeste eksemplarer - ej heller var jeg i reaktion mod den ligeså store del, der udviste åbenlys foragt og kedsomhed, hvis ikke de blot var optaget af, hvornår de kunne se deres snit til at flintre over vejen. Det virkede på mig, som om mit blik på de konkrete ting, der skete rundt om mig - bilerne, de opsynshavendes råb, den sorte officers forsvindende skikkelse - var blevet historisk. Jeg så dem, som det de også var, nemlig manifestationer af en abstrakt enhed, Frankrig, den franske Stat, kort sagt: magt. I stedet for at symbolisere storheden ved revolutionens fremme af europæisk demokrati osv., så jeg en manifestation af noget usynligt, og som er usynligt for alle, selv de embedsmænd, som vi sommetider bekvemt identificerer hermed. Denne stemning forblev i min bevidsthed, helt indtil jeg forlængst var tilbage på den anden side af floden. På vejen så jeg en formation af gendarmerie-motorcykler, som tæt sammen processerede forbi. En ung kvinde med en cykel tog et billede af dem, og lige idet paraden passerede os, anerkendte en af motorcyklisterne hende med et nik og et næsten umærkeligt smil under hjelmens blå-grå skygge. Dette nik, og dette smil, som kvinden gengældte, var så intimt, at det aldrig ville have eksisteret, hvis ikke rytteren havde været del af denne opvisning. Formationen og de statsligt ejede motorcykler og uniformer legitimerede i dette sekund en genkendelse mellem disse to fremmede, som ellers aldrig ville have kunnet fundet sted. Var de gået forbi hinanden - eller sidder over for hinanden i metroen - på en almindelig dag og havde den ene kastet sit blik på den anden, ville betragteren uundgåeligt havde set sig nødsaget til at udføre den konventionelle gestus, hvor man fjerner sine øjne så snart objektet for ens betragtning gengælder ens blik.