Videolectures og podcasts: En kort annoteret guide

Her er en kort annoteret guide til en mængde internetsteder, der tilbyder video eller lyd med interessant indhold:

1. Academicearth.org er en portal for gratis videolectures fra højtrangerende amerikanske universiteter og har mange gode ting.

F.eks. er Yale's kursus i Fundamentals of Physics virkelig godt. Det er svært at følge med i, men hvis det ses et par gange, får man meget ud af det alligevel. Man kan evt. supplere sin rustne matematik med MIT's introduktion til Single Variable Calculus, jeg selv var i hvert fald nødt til at se den første forelæsning af sidstnævnte for at have bare en idé om, hvad der foregik i fysikforelæsningerne.

Desuden er Shelly Kagan's kursus om Death klart anbefalelsesværdigt. Kagan er en beundringsværdigt god underviser, og det er en virkelig klar gennemgang af nogle ældgamle og traditionsrige problemer.

Jeg har også nydt godt af John Merriman's kursus Eurpean Civilization 1648-1945, selv om Merriman's noget stereotype selviscenesættelse som den frankofile amerikaner med dertilhørende fuldkommen urealistisk fransk udtale til tider er ganske distraherende, og hans noget løse forelæsningsstil ikke altid er klarheden selv. Men informativt ikke desto mindre.

Desuden er der mange andre interessant forelæsningsrækker om politik, arkitektur, økonomi, og alt muligt andet.

2. En anden portal er Videolectures.net.

Dog er min erfaring, at der er en smule længere mellem snapsene her. Størstedelen af forelæningerne her er om computer science, og der er nogle enkelte kursur i logik, som er fine hvis man er interesseret i den slags. F.eks. er der en sober introduktion til et halvkomplekst emne at finde i Errol Martin's Computability and Incompleteness kursus.

3. En parallel men uundværlig verden udgøres af podcasts. Se f.eks. portalen Learnoutloud.com, hvor utallige podcasts og lydbøger kan downloades gratis.

Jeg har f.eks. hørt Lacqueur's European Civilization from the Renaissance to the Present et par gange. Det er lydoptagelser af et grundkursus i historie fra Berkeley, som er ganske underholdende og ret ok, selv om det er flat engang i mellem pga. det er designet til amerikanere i starten af tyverne.

4. Hvad angår podcasts i øvrigt er de følgende blandt favoritterne (og ofte nævnt på denne blog): BBC's In our Time og Marshall Poe's New Books in History.

God jagt!

Primtal

Hvad er et primtal? Vi har lært et svar udenad: Et primtal er et tal, der mellem sine divisorer kun har sig selv og 1, dvs. et tal der kun kan deles (ligeligt) med sig selv og 1. Men hvad vil det sige? Her er en måde at opfatte det på.

De naturlige tal er (også) kardinaltal, dvs. i grov forstand angivende antallet af medlemmer af en given mængde. Hvis vi tænker på dem på denne måde, kan de naturlige tal anvendes til at klassificere forskellige kvanta. Lad os sammenligne to situationer, der hver især involverer 20 kugler arrangeret på et bord. I den første er de placeret sådan her (ignorér {'erne og kommaerne):

{0000},{00},{0000},

{00},{000},{0},{0},{00},{0}

I den anden sådan:

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

Hvad er forskellen? Begge situationer indholder 20 kugler, men for at beskrive forskellen på dem, er det naturligt at appelere til et begreb om en mængde. Gør vi det, kan vi beskrive forskellen på de to situationer ved at opfatte den første situation som én, hvori der er 9 mængder af kugler. Desuden virker det naturligt at sige, at nogle af disse mængder har noget tilfælles. Der er f.eks. 2 mængder, der hver indeholder 4 kugler; og 3 der hver indeholder 2 kugler; og 3 der hver indeholder kun 1 kugle. I den anden situation er der 20 mængder, der hver indeholder blot 1 kugle.

Dette skyldes formentlig, at vi intuitivt opfatter en mængde som noget, der har medlemmer. Og vi kan så angive hvor mange medlemmer en given mængde har. Vi bruger de naturlige tal til dette (så længe der er tale om finitte mængder). Går vi et skridt videre, er det klart, at hvis en mængde er noget, der har medlemmer, så er en mængde også noget, der kan deles i flere forskellige mængder. Vi kan sige, at de to situationer ovenfor repræsenterer to forskellige måder, hvorpå man kan dele en mængde, der består af 20 medlemmer.

Når man deler en mængde, får man andre mængder, og man kan igen spørge om antallet af deres medlemmer. Og vi kan nu begynde at klassificere mængder i forskellige kategorier. Her er tre eksempler:

(1) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 1 medlem.

(2) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 2 medlemmer.

(3) Mængder der kan deles i delmængder der hver har lige mange medlemmer.

Naturligvis hører alle mængder under (1) - grunden er, at for ethvert objekt findes der en mængde, der har dette objekt som medlem. Men kun nogle mængder hører under (2). Sidstnævnte er mængder der har hhv. 2, 4, 6, 8, 10 etc. medlemmer. Med andre ord, hvis vi begynder med en enkelt kugle, har vi en mængde, der ikke hører under (2). Lægger vi nu en kugle til, har vi en der opfylder (2), og tilføjer vi en tredje kugle får vi en mængde, der ikke opfylder (2). Mao. hver gang vi tilføjer en kugle til en mængde, kan vi forudse, hvorvidt resultatet vil opfylde (2), nemlig hvis og kun hvis den oprindelige mængde ikke opfyldte (2). De tal, der beskriver mængder, der opfylder (2), kalder vi 'lige' tal; og de tal, der beskriver mængder, der ikke opfylder (2), kalder vi 'ulige'.

Idet alle mængder opfylder (1), hører alle mængder også under (3). Men nogle mængder hører under (3), både fordi de opfylder (1) og fordi de opfylder betingelser som (2). Der er selvfølgelig tilsvarende betingelser med 3 medlemmer, 4 medlemmer, 5 medlemmer osv. Men for nogle mængder er den eneste grund til, at de hører under (3), at de hører under (1). Disse mængder er de, der beskrives af primtal.

Mere intuitivt kan vi sige følgende: Når vi begynder at eksperimentere med at dele mængder, finder vi hurtigt ud af, at der generelt er to måder at dele en given mængde på. Enten deler man mængden, så alle de resulterende mængder har lige mange medlemmer, ellers også er der mindst to resulterende mængder, der ikke har det samme antal medlemmer. Lad os sige at hvis en mængde deles så alle delmængderne har lige mange medlemmer, så er den ligeligt delt.

Nu opdager man, at for de fleste mængders vedkommende, kan man dele dem ligeligt på mere end en måde. F.eks. kan man dele en vores 20 kugler sådan:

{0000},{0000},{0000},{0000},{0000}

eller sådan:

{0000000000},{0000000000}

Desuden kan alle mængder deles ligeligt på mindst én måde, nemlig sådan at alle delmængderne har 1 medlem. Men nogle mængder kan kun deles ligeligt på én måde. F.eks. kan man kun dele en mængde med 3 medlemmer på følgende måder

{0},{00}

{0},{0},{0}

Kun den anden måde er ligelig, og det er den eneste ligelige måde at dele mængden på.

Et primtal er altså et tal der beskriver en mængde, der kun kan deles ligeligt på en måde, nemlig den måde hvorpå alle mængder kan deles ligeligt. Vi gør dette ved at dele mængden i det samme antal delmængder som den har medlemmer. Dvs. disse mængder kan kun opbrydes ligeligt i deres enkelte medlemmer - der er ingen ligelige måde at fordele medlemmerne i grupper på.

Vi har her udeladt mange ting. Først og fremmest har vi udeladt, at man normalt betragter enhver mængde som en delmængde af sig selv. Dette betyder, at vi må acceptere - selv om dette angiveligt er temmelig unaturligt - at man fra en given mængde kan få en mængde med det samme antal medlemmer. Derudover har vi udeladt, at man normalt betragter den tomme mængde som delmængde af enhver mængde. Dette sikrer også en anden vigtig regel, nemlig at hvis en mængde har x medlemmer, så har den 2^x delmængder. F.eks. har mængden {a,b,c} følgende 8 delmængder: {a,b,c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a}, {b}, {c}, Ø.

Men alt dette er ikke så vigtigt i forhold til det, vi var interesseret i, nemlig forholdet mellem (bestemte typer) naturlige tal og (bestemte typer) mængder. Selv om meget af det ovenstående virker som barnelærdom, er det en af de mest altafgørende kendsgerninger, at virkeligheden (i hvert fald den makroskopiske virkelighed) er således indrettet, at den fordeler sig på denne måde; og endnu mere slående er det, at vi besidder et talbegreb og evnen til at ræsonnere med det på en måde, der direkte korresponderer til denne fundamentale struktur. Det var dette, der oprindeligt fascinerede pythagoræerne, og som var drivkraften for al videnskab og filosofi herfra over Descartes til Newton og Kant og videre til Einstein og Bohr.

Universel, beregnelig viden

Siden pythagoræerne opdagede, at matematiske strukturer kan give et eksakt billede af den fysiske verden, har spørgsmålet om, hvorvidt fænomener, som intuitivt tilhører den menneskelige sfære - viden, kommunikation, og først og fremmest logisk deduktion af mere viden - ligeledes kan bringes på beregnelig, matematisk form. Leibniz var overbevidst om, at et ideelt, universelt sprog kunne konstrueres, og som kunne danne basis for en, i konkret forstand, maskinel procedure for at afgøre, hvorvidt et givet argument er gyldigt eller ej og, meget mere slående, hvorvidt en hvilken som helst proposition er sand eller falsk. Det førstnævnte projekt er lever naturligvis stadig i bedste velgående, og fik en hidtil uset fremdrift med Freges indørelse af prædikatslogikken i 1879, og senere med Turing og Church.

Her kan man lytte til en af nutidens pionerer inden for dette felt tale om dets historie og samtidige status: http://tumtv.in.tum.de/Audio/Wolfram_Vortrag.mp3

Men nu har du ikke noget tårn længere

I går blev jeg af grunde, som det ikke er værd at gengive, præsenteret for følgende spørgsmål: Hvis du flytter en bonde diagonalt i et spil skak, har du så flyttet en bonde som en løber, eller har du flyttet en løber forklædt som en bonde? Spørgsmålet er selvsagt temmelig forvirret i denne form, og en del afklaring og uddybning af eksemplet er nødvendig, før et klart spørgsmål træder frem - og desuden er det uklart hvorvidt der overhovedet er noget dybt problem her.

Grunden til at antage, at der ikke er noget dybereliggende på færde her, kommer fra følgende plausible synspunkt: En skakbrik er defineret ved reglerne for dens potentielle træk. Det synes at være temmeligt klart, at der ikke kan være andet og mere, der indvirker på om et bestemt objekt er en skak-bonde eller -løber, -dronning etc., end hvorvidt dette objekt bruges til at spille skak med og hvilke regler det overholder. Mange har sikkert spillet mere end et spil skak hvor en mønt, en blyantspidser eller en korkprop er blevet brugt som bonde, løber el.lign. Tag f.eks. et spil, hvor en 5-krone bliver brugt som tårn. Pointen med ovenstående karakterisering af skakbrikker er, at i disse tilfælde er der simpelthen ikke mere at sige, end at 5-kronen er et tårn i dette spil. Årsagen er, at så længe begge spillere indbyrdes accepterer, at 5-kronen er underlagt reglerne for tårnet så længe spillet er i gang, så er 5-kronen et tårn. Ikke specielt dybt indtil videre.

Faktisk gælder noget lignende for temmeligt mange af de ting, vi normalt omgiver os med. F.eks. 5-kroner. Så længe der eksisterer en konvention i et samfund om at betragte et bestemt objekt x som en 5-krone, så er x en 5-krone. Det er naturligvis sandt, at vi har udvalgt bestemte myndigheder til at fremstille objekter af en bestemt type (metalskiver af en vis størrelse med besteme mynstre osv.), og at vi under ingen omstændigheder vil acceptere, at noget andet (f.eks. en knap) kan bruges til at betale nogen 5 kroner med. Men dette er irrelevant, hvad angår spørgsmålet om, hvad der skal til for at et bestemt objekt x er en 5-krone. Der er intet selvmodsigende i at forestille sig, at der blev udstedt en lov, ifølge hvilken f.eks. alle sorte knapper kunne bruges til at betale 5 kroner med hver anden lørdag. I så fald ville disse knapper være 5-kroner hver anden lørdag - at antage andet er at antage, at det kræver mere for at være en 5-krone, end at en konvention hersker, ifølge hvilken det relevant objekt bruges som en 5-krone, og dette er åbenlyst fejlagtigt.

Dette vil naturligvis blot sige, at når der spilles et spil skak, hvor en 5-krone bruges som tårn, så er der intet andet på færde, end at et og samme objekt x er konventionelt vedtaget at udfylde to forskellige roller for en kort tid (så længe skakspillet står på eller så længe lovgivningen ikke ændrer sig mht. hvad der gælder som 5-kroner, etc.). En tilskuer til ovennævnte skakspil kunne f.eks. meget vel tilbyde en af spillerne en cigaret for 5 kr., hvorved spilleren kunne tage mynten fra brættet og betale for cigaretten med den. Ingen ville indvende, at man ikke kan betale 5 kr. med et tårn! Snarere ville folk sige, "Fint nok - men nu har du ikke noget tårn længere."

Svaret på vores indledende spørgsmål, givet den åbenlyse måde at afklare det på, kan således kun være, at så længe et stykke træ bruges som en løber i et bestemt spil, giver det ingen mening at spørge yderligere til, hvorvidt det er en løber. Og det er naturligvis fuldkommen irrelevant, hvorvidt dette stykke træ har en form, som normalt kendetegner træstykker, der bruges som bønder. Dette er fuldkommen ligesom 5-kronens form, og det eneste "dybere" i dette spørgsmål er, at objektet (træstykket) her er udformet på en måde, der signalerer en rolle som også har noget med skak at gøre.

Fra grænselandet: Et adækvat sæt af konnektiver og noget om syntaks

Da jeg forleden havde en af disse nætter, hvor man har arbejdet for meget, hvor man svæver mellem søvn og vågen tilstand i en feberlignende, tynd bevidsthed, opdagede jeg pludselig, at der i min bevidsthed havde materialiseret sig et adækvat sæt af konnektiver for klassisk sætningslogik, som jeg ikke mindes at have set før. Ideen er simpel. Vi lader konkatenering være konjunktion, og bruger '(' og ')' til at repræsentere negation. En semantik herfor er givet således, hvor v er en evaluering (og hvor 'hviss' er en forkortelse af 'hvis og kun hvis'):

(1) v[AB] = 1 hviss v[A] = 1 og v[B] = 1.
(2) v[(A)] = 1 hviss v[A] = 0.

- hvor 'A' og 'B' er formler af arbitrær kompleksitet. Nogle eksempler:

(i) Den materielle implikation repræsenteres som (A(B)). Det er let at vise at ovenstående giver resultatet

v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[B] = 1.

Bevis:
Givet (2) er v[(A(B))] = 1 hviss v[A(B)] = 0. Givet (1), er v[A(B)] = 0 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1.

(ii) Som dette antyder, repræsenteres disjunktion som ((A)(B)). Endnu engang er det let at se, at vi får

v[((A)(B))] = 1 hviss enten v[A] = 1 eller [B] = 1.

Bevis:
Givet (2), er v[((A)(B))] = 1 hviss v[(A)(B)] = 0 hviss enten v[(A)] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss enten v[A] = 1 eller v[B] = 1.


(iii) En mere kompleks formel, som i standard notation ville være repræsenteret af ((-A v B) & A) --> B bliver repræsenteret som følger:

((A)(B)A(B))

- hvilket ses af at ovenstående, i standard notation er ækvivalent til -((-(A & -B) & A) & -B).

(iv) Vi kan også vise at (A(B))A er ækvivalent til B, som det skal være:

Antag for reductio at v[(A(B))A] = 1 og v[B] = 0. Givet (1), er v[(A(B))A] = 1 hviss v[(A(B))] = 1 og v[A] = 1. Siden v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0, og v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1, giver begge disjunkter en kontradiktion. Så (A(B))A er ækvivalent til B.

Som ønsket er formlen i (iii) ovenfor derfor en logisk tautologi. Bevis:

Antag for reduction at v[((A)(B)A(B))] = 0. Givet (2), har vi i så fald v[(A)(B)A(B)] = 1. Så vi har v[A] = 0 og v[B] = 0 og v[A] = 1. Kontradiktion!

----

Mere interessant er det at spekulere over, hvorfor forskellige notationsarter er ækvivalente, sådan som denne og standarnotationen tilsyneladende er. For at få hold på emnet, kan vi spørge os selv, hvad det er ved min nye notationsform, der gør, at den virker, så at sige. Et relevant spørgsmål at starte med er, hvorfor den ikke resulterer i flertydige udtryk. Man kunne måske frygte at dette ville være tildfældet simpelthen fordi paranteserne ikke bliver brugt til at repræsentere scope, men i stedet bruges til at repræsentere negation. Grunden til at der ikke opstår flertydige udtryk synes at være den, at strenge som '((A(B))A)' ikke efterlader nogen tvivl om, hvad de to negationers respektive scope er, nemlig hhv. 'A(B)' og '(A(B))A'.

Men hvorfor er vi sikre på, at negationen i '(A)B' kun rækker over 'A'? Det er klart, at der er en definition af rækkevidde implicit her, som naturligvis skal være eksplicit i en ultimativ definition af det sprog, vi er interesseret i. Noget i retning af følgende: En negation '( ... )' rækker over det syntaktiske materiale der ligger mellem '(' og ')'. Men her antager vi selvfølgelig, at vi ved, hvad det vil sige at ligge imellem to symboler.

Det synes at være åbenlyst, at syntaksen udnytter visse materielle egenskaber ved det medium, vi anvender. For eksempel kan vi forestille os et fuldkomment adækvat sprog, som kun kan udtrykkes mundtligt, og som består af mundtlige udsagn af formler som 'A' og 'B' og visse designerede håndbevægelser, der vil svare til hhv. '(' og ')', f.eks. hhv. et fingerknips med venstre hånd og et fingerknips med højre hånd. Vi vil således kunne udtrykke '(A)B' på følgende måde:

fingerknips:venstre udtalt:A fingerknips:højre udtalt:B

Naturligvis er vi også nødt til at vide, at formlen begynder med det første knips og slutter når udtalelsen af 'B' er færdiggjort. Igen ser det ud, som om, vi udnytter visse fysiske aspekter af mediet, i dette tilfælde højre/venstre orientering og tidslig udstrækning.

Formentlig kan alt dette ultimativt gives et rent fysisk fundament, således at et sprogs syntaks kan defineres utvetydigt i udelukkende fysiske kategorier.

Vi er alle unikke

I et antikvariat i Oslo fandt jeg forleden følgende geniale bemærkning i en bog om 'paradoksale' udtalelser:

"Vi er alle unikke. Så i den forstand er du ikke noget særligt."

Man er selvsagt nødt til at forstå bogens påstand om, at denne og lignende bemærkninger er paradokser som løs tale. På bogens omslag findes eksemplet "Skål for afholdssagen!" som på ingen måde kan betragtes som paradoksal. Men hvad med eksemplet ovenfor?

Der er generelt to betydninger af 'paradoks', når dette bruges i streng, logisk forstand. I den ene betydning er et paradoks en sætning eller udtalelse som er falsk, kun hvis den er sand, og sand kun hvis den er falsk. Et velkendt eksempel er

"Denne sætning er falsk"

Hvis denne sætning er falsk, er den sand, og hvis den er sand, er den falsk.

I den anden betydning, er et paradoks et tilsyneladende gyldigt argument med tilsyneladende sande præmisser og en utålelig konklusion. Her er et berømt eksempel, det såkaldte sorites paradoks:
1. En mand med 0 hår på hovedet er skaldet.
2. For ethvert naturligt tal n, hvis en mand med n hår på hovedet er skaldet, så er en mand med n+1 hår på hovedet skaldet.
3. Derfor: En mand med 10.000 hår på hovedet er skaldet.

Det er klart, at hvis sætningen "Vi er alle unikke" skal betragtes som et paradoks, så må det være i den første forstand. Nogle vil måske føle sig fristede til at argumentere for, at den opfylder kriterierne på følgende måde: Udsagnet "Vi er alle unikke" betyder at for enhver af os er der enten tilfældet, at der er mindst en egenskab, han ikke deler med andre, eller det er tilfældet, at ingen andre har nøjagtig den kombination af egenskaber, som han har. Antag nu, at "Vi er alle unikke" er sand. I så fald er der for enhver af os, en af de to foregående udsagn der er sandt. Men hvis dette er sandt, så er der mindst en egenskab, vi deler med alle andre, nemlig den der netop er beskrevet. Ikke desto mindre betyder det sidste helt åbelyst ikke, at "Vi er alle unikke" er falsk.

Finurligheden ved "Vi er alle unikke" opstår kun, når den fejlagtig læses som betydende, at vi hver især ikke deler nogen af vores egenskaber med andre. Hvis dette var tilfældet, ville "Vi er alle unikke" være en selvmodsigelse. Men for det første har sætningen ikke denne betydning, og for det andet er det åbenlyst falskt om et hvilket som helst individ, at det alene har alle de egenskaber det har. En egenskab, som alle individer deler med alle andre er den at være identisk med sig selv.

Hvad med "Skål for afholdssagen!"? Det 'selvmodsigende' her synes at være af en mere pragmatisk karakter. Lad os skelne mellem en udtalelses indhold og styrke. F.eks. kan en udtalelse af "Det sner" meget vel have styrken "Nogen bør gå ud at skovle", mens dens indhold blot er påstanden, at det sner. Løst sagt, kan det slående ved "Skål for afholdssagen!" nu beskrives som, at dens styrke synes, at være et eksempel på netop det, dens indhold forbyder. Dette er dog ikke helt korrekt. Men ikke desto mindre, er det på rette vej.

Grænsedragende

Der er en del debat i øjeblikket om, hvor grænsen går mellem såkaldt analytisk og såkaldt kontinental filosofi, som en rask Google søgning vil afsløre - se her. Mindst én filosof, solidt placeret i den analytisk lejr, har i mindst én bog fuldkommen transcenderet distinktionen. Graham Priests Beyond the Limits of Thought (2002) er en heltemodig kraftpræstation - et ubønhørligt og passioneret anlæg af en sammentænkende synsvinkel på filosoffer fra begge traditioner samt nogle, der ikke kan klassificeres af denne antikverede og ufrugtbare distinktion. Af dem, der traditionelt betragtes som analytiske filosoffer, kan nævnes Frege, den tidlige Wittgenstein, Quine og Davidson. Og fra den anden lejr Heidegger og Derrida. Indrømmet, de, der efter den gængse opfattelse unddrager sig matriksen, er alle historiske skikkelser - f.eks. Aristoteles, Kant og den indiske filosof Nagarjuna (ca. 150-250 f.kr.). Men den, der betragter distinktionen med behag, bør ikke finde ubehag i dette faktum. Er der ikke en klar forskel mellem Kierkegaard og John Stuart Mill, Copernicus og Cusa, Plotin og Marcus Aurelius? Hvis der er sandt at skelne, har det altid været sandt. Priest er ikke i tvivl: Hvad der går igen i al tænkning, fra de set-teoretiske paradokser i begyndelsen af det tyvende århundrede over den tractariske bortsmidden af den så omstridte stige til Derridas udhviskede værensbegreb, er en manifestation af tænkningens grænser. Med det, der tænkes, tænkes det utænkelige. Dette er netop Wittgensteins simile: Det, der ikke kan siges, fremvises af det, der siges. Men Priest vil mere. Det er velkendt, at Priest forsvarer det synspunkt, der i den anglo-saksiske verden kaldes dialetheism, og som hævder at visse kontradiktioner er sande. Vi har brug for en parakonsistent logik, hvis vi vil overskride de paradokser, som uundgåeligt fremkommer af den traditionelle måde at tænke alt i kategorier af sand, falsk, hverken-sand-eller-falsk, både-sand-og-falske. (Strengt taget bør man skelne mellem dialetheism og parakonsistens (se forrige link); men vi er ikke i færd med at drage strenge skel her.)

I samme forbindelse kan vi nævne den polsk-norske logiker Michal Walicki, der i sit upublicerede mamutværk, The Visible and the Invisible med undertitlen 'Summa Anthropologia Philosophicae' tilbyder os en neo-platonisk syntese af ontologi, matematikfilosofi, logik, teosofi, psykologi, antropologi og erkendelsesteori; ja, man fristes til at sige af alle videnskaberne. Forbindelsen med Priests fokusering på grænser for tænkningen anes i udsagn som "not only the objectivity of the visible world but also its unity and concreteness, arise not from any particulars found within it but from the ultimate objectivity which, transcending it, remains forever as constant and unchangeable as it is invisible." (vii) Begge tænkere er således enige om, at der findes domæner af virkeligheden, hvorom det på een gang er meningsfuldt og umuligt at tale. For Walicki er hovedanliggendet virkeligheden selv, realiteten, der konstituerer den enhed, som underligger den diversitet, der udgør både den måde, verden præsenterer sig selv for os på, og som er endemålet for vores udforskning af den. For Priest angår det den dobbelte umulighed og uundgåelighed af indfangningen af netop de definitioner som videnskaben anlægger - tænkningens münchhausenske selvoptrækkeri. Walickis summa er, om ikke andet, et håndfast bevis for overskridelsen af de kategorier, som man opfatter tænkningen om tænkningen i, hvilket et hurtigt blik på Walickis professionelle virke vil vidne om. Der er ikke noget belæg for, at de bløde videnskabers tøffelhelte bagtalerisk konspirerer mod en skare af stålsatte riddere af positivismen.

Fortsættes i et fremtidigt indlæg om dialetheism...

UPDATE 2/12-06: Dette kom desværre aldrig i stand. Jeg henviser til denne artikel i SEP.
- A.S.