Olduvai

Det ældste objekt i the British Museums samling er et støderedskab af sten fra Olduvai Slugten i Tanzania, som er dateret til at være ca. 1.8 mio. år gammelt. En skarp kant er blevet frembragt ved at slå flager af begge sider af stenblokken for at frembringe et værktøj, der formentlig er blevet brugt til mange forskellige opgaver som f.eks. at hugge grene af træer, skære kødet fra nedlagte dyr, og ikke mindst til at knuse knogler for at blotlægge den benmarv, der på dette tidspunkt var en essentiel del af den menneskelige kost. Stenen er således blandt de allertidligste eksempler på intelligens hos skabninger, der endnu ikke kan kaldes homo sapiens. Homo erectus, som der her er tale om, havde en hjerne, hvis størrelse udgjorde 74% af vores egens. Og dog, når man betragter denne bearbejdede stenblok, ser man i konkret forstand kardinaleksemplet på, hvad der gør os unikke blandt dyrene, nemlig det at vi som det eneste blandt dyrene efterlader spor ikke blot af, hvad vi er og har været, men af hvad vi skaber. Al skabning af denne art er nødvendigvis altid en reorganisering af materiale, der allerede er til stede i naturen. Mennesket deler materien, det splitter den ad. Fra Olduvai til CERN. Vi blotlægger strukturer, som ikke er synlige på overfladen og klarlægger dermed både årsager og potentialer. Men at betragte stenredskabet i montren på British Museum er samtidig uendeligt meget mere. Man kan her få en fornemmelse af at stå uden for tiden, af i ét nu at skræve henover årtusinderne og være direkte forbundet med den lodne hånd, der greb om dette stykke klippe, og som lærte af sine erfaringer, og hvis skridt begynder en sti, ad hvis forgreninger vi alle er vandret, og som den besøgende selv er kommet ad over Russel Square, gennem bygningen til dette ubemærkede hjørne af de nyåbnede gallerier om oplysningstiden, hvor Olduvai stenen har fundet sin endelige destination. Men endnu en opdagelse ligger gemt her, en der ikke er tilsigtet fra museets side. Ved siden af montren med Olduvai stenen er der i øjeblikket opslået en lille stand med et af British Museums 'hands on' tilløb. En frivillig viser lignende sten frem og lader de besøgende røre og håndtere dem. Disse genstande, der har fået lov til på denne måde at blive befamlet af de mange turister og ander interesserede, er formentlig ikke blandt museets mest skattede ejendele. Men netop derfor opdager man noget ganske bemærkelsesværdigt. Det viser sig nemlig, at der er en hel del af stenene, som museet ikke kan placere - ikke mht. hvor gamle de er, hvad de har været brugt til osv., men mht. til hvor de er fundet og af hvilken ekspedition. På den ene af de jeg selv så i sidste uge, var der en inskription, som kunne afkodes ganske præcist med årstal, ekspeditionens navn, leder, osv. Men på den anden var den tilsvarende inskription udvisket af årtier af arkæologers, antropologers, konservatorers, kuratorers og andres berøring. Damen i standen afslørede tilmed, at museet ligger inde med utallige objekter, som de nok kan identificere som f.eks. homo erectus stenredskaber, men hvis genealogi i museets eget regi er gået tabt. Der pågår mao. et arkæologisk projekt på museets egen grund, gennem støvede arkiver, ned gennem lagene af den menneskelige anmasselse af viden om sig selv. I bogstaveligste forstand er Historien blevet historisk.

Videolectures og podcasts: En kort annoteret guide

Her er en kort annoteret guide til en mængde internetsteder, der tilbyder video eller lyd med interessant indhold:

1. Academicearth.org er en portal for gratis videolectures fra højtrangerende amerikanske universiteter og har mange gode ting.

F.eks. er Yale's kursus i Fundamentals of Physics virkelig godt. Det er svært at følge med i, men hvis det ses et par gange, får man meget ud af det alligevel. Man kan evt. supplere sin rustne matematik med MIT's introduktion til Single Variable Calculus, jeg selv var i hvert fald nødt til at se den første forelæsning af sidstnævnte for at have bare en idé om, hvad der foregik i fysikforelæsningerne.

Desuden er Shelly Kagan's kursus om Death klart anbefalelsesværdigt. Kagan er en beundringsværdigt god underviser, og det er en virkelig klar gennemgang af nogle ældgamle og traditionsrige problemer.

Jeg har også nydt godt af John Merriman's kursus Eurpean Civilization 1648-1945, selv om Merriman's noget stereotype selviscenesættelse som den frankofile amerikaner med dertilhørende fuldkommen urealistisk fransk udtale til tider er ganske distraherende, og hans noget løse forelæsningsstil ikke altid er klarheden selv. Men informativt ikke desto mindre.

Desuden er der mange andre interessant forelæsningsrækker om politik, arkitektur, økonomi, og alt muligt andet.

2. En anden portal er Videolectures.net.

Dog er min erfaring, at der er en smule længere mellem snapsene her. Størstedelen af forelæningerne her er om computer science, og der er nogle enkelte kursur i logik, som er fine hvis man er interesseret i den slags. F.eks. er der en sober introduktion til et halvkomplekst emne at finde i Errol Martin's Computability and Incompleteness kursus.

3. En parallel men uundværlig verden udgøres af podcasts. Se f.eks. portalen Learnoutloud.com, hvor utallige podcasts og lydbøger kan downloades gratis.

Jeg har f.eks. hørt Lacqueur's European Civilization from the Renaissance to the Present et par gange. Det er lydoptagelser af et grundkursus i historie fra Berkeley, som er ganske underholdende og ret ok, selv om det er flat engang i mellem pga. det er designet til amerikanere i starten af tyverne.

4. Hvad angår podcasts i øvrigt er de følgende blandt favoritterne (og ofte nævnt på denne blog): BBC's In our Time og Marshall Poe's New Books in History.

God jagt!

Primtal

Hvad er et primtal? Vi har lært et svar udenad: Et primtal er et tal, der mellem sine divisorer kun har sig selv og 1, dvs. et tal der kun kan deles (ligeligt) med sig selv og 1. Men hvad vil det sige? Her er en måde at opfatte det på.

De naturlige tal er (også) kardinaltal, dvs. i grov forstand angivende antallet af medlemmer af en given mængde. Hvis vi tænker på dem på denne måde, kan de naturlige tal anvendes til at klassificere forskellige kvanta. Lad os sammenligne to situationer, der hver især involverer 20 kugler arrangeret på et bord. I den første er de placeret sådan her (ignorér {'erne og kommaerne):

{0000},{00},{0000},

{00},{000},{0},{0},{00},{0}

I den anden sådan:

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},

Hvad er forskellen? Begge situationer indholder 20 kugler, men for at beskrive forskellen på dem, er det naturligt at appelere til et begreb om en mængde. Gør vi det, kan vi beskrive forskellen på de to situationer ved at opfatte den første situation som én, hvori der er 9 mængder af kugler. Desuden virker det naturligt at sige, at nogle af disse mængder har noget tilfælles. Der er f.eks. 2 mængder, der hver indeholder 4 kugler; og 3 der hver indeholder 2 kugler; og 3 der hver indeholder kun 1 kugle. I den anden situation er der 20 mængder, der hver indeholder blot 1 kugle.

Dette skyldes formentlig, at vi intuitivt opfatter en mængde som noget, der har medlemmer. Og vi kan så angive hvor mange medlemmer en given mængde har. Vi bruger de naturlige tal til dette (så længe der er tale om finitte mængder). Går vi et skridt videre, er det klart, at hvis en mængde er noget, der har medlemmer, så er en mængde også noget, der kan deles i flere forskellige mængder. Vi kan sige, at de to situationer ovenfor repræsenterer to forskellige måder, hvorpå man kan dele en mængde, der består af 20 medlemmer.

Når man deler en mængde, får man andre mængder, og man kan igen spørge om antallet af deres medlemmer. Og vi kan nu begynde at klassificere mængder i forskellige kategorier. Her er tre eksempler:

(1) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 1 medlem.

(2) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 2 medlemmer.

(3) Mængder der kan deles i delmængder der hver har lige mange medlemmer.

Naturligvis hører alle mængder under (1) - grunden er, at for ethvert objekt findes der en mængde, der har dette objekt som medlem. Men kun nogle mængder hører under (2). Sidstnævnte er mængder der har hhv. 2, 4, 6, 8, 10 etc. medlemmer. Med andre ord, hvis vi begynder med en enkelt kugle, har vi en mængde, der ikke hører under (2). Lægger vi nu en kugle til, har vi en der opfylder (2), og tilføjer vi en tredje kugle får vi en mængde, der ikke opfylder (2). Mao. hver gang vi tilføjer en kugle til en mængde, kan vi forudse, hvorvidt resultatet vil opfylde (2), nemlig hvis og kun hvis den oprindelige mængde ikke opfyldte (2). De tal, der beskriver mængder, der opfylder (2), kalder vi 'lige' tal; og de tal, der beskriver mængder, der ikke opfylder (2), kalder vi 'ulige'.

Idet alle mængder opfylder (1), hører alle mængder også under (3). Men nogle mængder hører under (3), både fordi de opfylder (1) og fordi de opfylder betingelser som (2). Der er selvfølgelig tilsvarende betingelser med 3 medlemmer, 4 medlemmer, 5 medlemmer osv. Men for nogle mængder er den eneste grund til, at de hører under (3), at de hører under (1). Disse mængder er de, der beskrives af primtal.

Mere intuitivt kan vi sige følgende: Når vi begynder at eksperimentere med at dele mængder, finder vi hurtigt ud af, at der generelt er to måder at dele en given mængde på. Enten deler man mængden, så alle de resulterende mængder har lige mange medlemmer, ellers også er der mindst to resulterende mængder, der ikke har det samme antal medlemmer. Lad os sige at hvis en mængde deles så alle delmængderne har lige mange medlemmer, så er den ligeligt delt.

Nu opdager man, at for de fleste mængders vedkommende, kan man dele dem ligeligt på mere end en måde. F.eks. kan man dele en vores 20 kugler sådan:

{0000},{0000},{0000},{0000},{0000}

eller sådan:

{0000000000},{0000000000}

Desuden kan alle mængder deles ligeligt på mindst én måde, nemlig sådan at alle delmængderne har 1 medlem. Men nogle mængder kan kun deles ligeligt på én måde. F.eks. kan man kun dele en mængde med 3 medlemmer på følgende måder

{0},{00}

{0},{0},{0}

Kun den anden måde er ligelig, og det er den eneste ligelige måde at dele mængden på.

Et primtal er altså et tal der beskriver en mængde, der kun kan deles ligeligt på en måde, nemlig den måde hvorpå alle mængder kan deles ligeligt. Vi gør dette ved at dele mængden i det samme antal delmængder som den har medlemmer. Dvs. disse mængder kan kun opbrydes ligeligt i deres enkelte medlemmer - der er ingen ligelige måde at fordele medlemmerne i grupper på.

Vi har her udeladt mange ting. Først og fremmest har vi udeladt, at man normalt betragter enhver mængde som en delmængde af sig selv. Dette betyder, at vi må acceptere - selv om dette angiveligt er temmelig unaturligt - at man fra en given mængde kan få en mængde med det samme antal medlemmer. Derudover har vi udeladt, at man normalt betragter den tomme mængde som delmængde af enhver mængde. Dette sikrer også en anden vigtig regel, nemlig at hvis en mængde har x medlemmer, så har den 2^x delmængder. F.eks. har mængden {a,b,c} følgende 8 delmængder: {a,b,c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a}, {b}, {c}, Ø.

Men alt dette er ikke så vigtigt i forhold til det, vi var interesseret i, nemlig forholdet mellem (bestemte typer) naturlige tal og (bestemte typer) mængder. Selv om meget af det ovenstående virker som barnelærdom, er det en af de mest altafgørende kendsgerninger, at virkeligheden (i hvert fald den makroskopiske virkelighed) er således indrettet, at den fordeler sig på denne måde; og endnu mere slående er det, at vi besidder et talbegreb og evnen til at ræsonnere med det på en måde, der direkte korresponderer til denne fundamentale struktur. Det var dette, der oprindeligt fascinerede pythagoræerne, og som var drivkraften for al videnskab og filosofi herfra over Descartes til Newton og Kant og videre til Einstein og Bohr.

Universel, beregnelig viden

Siden pythagoræerne opdagede, at matematiske strukturer kan give et eksakt billede af den fysiske verden, har spørgsmålet om, hvorvidt fænomener, som intuitivt tilhører den menneskelige sfære - viden, kommunikation, og først og fremmest logisk deduktion af mere viden - ligeledes kan bringes på beregnelig, matematisk form. Leibniz var overbevidst om, at et ideelt, universelt sprog kunne konstrueres, og som kunne danne basis for en, i konkret forstand, maskinel procedure for at afgøre, hvorvidt et givet argument er gyldigt eller ej og, meget mere slående, hvorvidt en hvilken som helst proposition er sand eller falsk. Det førstnævnte projekt er lever naturligvis stadig i bedste velgående, og fik en hidtil uset fremdrift med Freges indørelse af prædikatslogikken i 1879, og senere med Turing og Church.

Her kan man lytte til en af nutidens pionerer inden for dette felt tale om dets historie og samtidige status: http://tumtv.in.tum.de/Audio/Wolfram_Vortrag.mp3