Fra grænselandet: Et adækvat sæt af konnektiver og noget om syntaks

Da jeg forleden havde en af disse nætter, hvor man har arbejdet for meget, hvor man svæver mellem søvn og vågen tilstand i en feberlignende, tynd bevidsthed, opdagede jeg pludselig, at der i min bevidsthed havde materialiseret sig et adækvat sæt af konnektiver for klassisk sætningslogik, som jeg ikke mindes at have set før. Ideen er simpel. Vi lader konkatenering være konjunktion, og bruger '(' og ')' til at repræsentere negation. En semantik herfor er givet således, hvor v er en evaluering (og hvor 'hviss' er en forkortelse af 'hvis og kun hvis'):

(1) v[AB] = 1 hviss v[A] = 1 og v[B] = 1.
(2) v[(A)] = 1 hviss v[A] = 0.

- hvor 'A' og 'B' er formler af arbitrær kompleksitet. Nogle eksempler:

(i) Den materielle implikation repræsenteres som (A(B)). Det er let at vise at ovenstående giver resultatet

v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[B] = 1.

Bevis:
Givet (2) er v[(A(B))] = 1 hviss v[A(B)] = 0. Givet (1), er v[A(B)] = 0 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1.

(ii) Som dette antyder, repræsenteres disjunktion som ((A)(B)). Endnu engang er det let at se, at vi får

v[((A)(B))] = 1 hviss enten v[A] = 1 eller [B] = 1.

Bevis:
Givet (2), er v[((A)(B))] = 1 hviss v[(A)(B)] = 0 hviss enten v[(A)] = 0 eller v[(B)] = 0 hviss enten v[A] = 1 eller v[B] = 1.


(iii) En mere kompleks formel, som i standard notation ville være repræsenteret af ((-A v B) & A) --> B bliver repræsenteret som følger:

((A)(B)A(B))

- hvilket ses af at ovenstående, i standard notation er ækvivalent til -((-(A & -B) & A) & -B).

(iv) Vi kan også vise at (A(B))A er ækvivalent til B, som det skal være:

Antag for reductio at v[(A(B))A] = 1 og v[B] = 0. Givet (1), er v[(A(B))A] = 1 hviss v[(A(B))] = 1 og v[A] = 1. Siden v[(A(B))] = 1 hviss enten v[A] = 0 eller v[(B)] = 0, og v[(B)] = 0 hviss v[B] = 1, giver begge disjunkter en kontradiktion. Så (A(B))A er ækvivalent til B.

Som ønsket er formlen i (iii) ovenfor derfor en logisk tautologi. Bevis:

Antag for reduction at v[((A)(B)A(B))] = 0. Givet (2), har vi i så fald v[(A)(B)A(B)] = 1. Så vi har v[A] = 0 og v[B] = 0 og v[A] = 1. Kontradiktion!

----

Mere interessant er det at spekulere over, hvorfor forskellige notationsarter er ækvivalente, sådan som denne og standarnotationen tilsyneladende er. For at få hold på emnet, kan vi spørge os selv, hvad det er ved min nye notationsform, der gør, at den virker, så at sige. Et relevant spørgsmål at starte med er, hvorfor den ikke resulterer i flertydige udtryk. Man kunne måske frygte at dette ville være tildfældet simpelthen fordi paranteserne ikke bliver brugt til at repræsentere scope, men i stedet bruges til at repræsentere negation. Grunden til at der ikke opstår flertydige udtryk synes at være den, at strenge som '((A(B))A)' ikke efterlader nogen tvivl om, hvad de to negationers respektive scope er, nemlig hhv. 'A(B)' og '(A(B))A'.

Men hvorfor er vi sikre på, at negationen i '(A)B' kun rækker over 'A'? Det er klart, at der er en definition af rækkevidde implicit her, som naturligvis skal være eksplicit i en ultimativ definition af det sprog, vi er interesseret i. Noget i retning af følgende: En negation '( ... )' rækker over det syntaktiske materiale der ligger mellem '(' og ')'. Men her antager vi selvfølgelig, at vi ved, hvad det vil sige at ligge imellem to symboler.

Det synes at være åbenlyst, at syntaksen udnytter visse materielle egenskaber ved det medium, vi anvender. For eksempel kan vi forestille os et fuldkomment adækvat sprog, som kun kan udtrykkes mundtligt, og som består af mundtlige udsagn af formler som 'A' og 'B' og visse designerede håndbevægelser, der vil svare til hhv. '(' og ')', f.eks. hhv. et fingerknips med venstre hånd og et fingerknips med højre hånd. Vi vil således kunne udtrykke '(A)B' på følgende måde:

fingerknips:venstre udtalt:A fingerknips:højre udtalt:B

Naturligvis er vi også nødt til at vide, at formlen begynder med det første knips og slutter når udtalelsen af 'B' er færdiggjort. Igen ser det ud, som om, vi udnytter visse fysiske aspekter af mediet, i dette tilfælde højre/venstre orientering og tidslig udstrækning.

Formentlig kan alt dette ultimativt gives et rent fysisk fundament, således at et sprogs syntaks kan defineres utvetydigt i udelukkende fysiske kategorier.

Colorless Green Ideas Sleep Furiously

I anledning af Noam Chomskys 80 års fødselsdag, satte the MITPressLog tirsdag et indlæg op, hvori der ønskes tillykke. Titlen på indlægget, 'Colorless Green Ideas Celebrate Birthdays', fik mig til endnu engang at overveje Chomskys berømte eksempel på en sætning (titlen på nærværende indlæg), der skulle være syntaktisk velformet men uden kohærent semantisk fortolkning. Sætningen stammer fra Chomskys banebrydende værk, Syntactic Structures (1957), der lagde fundamentet for moderne generativ lingvistik.

De fleste, jeg har talt med gennem tiden, har reageret med undren på påstanden om inkohærens, og hævder som regel at have en mere eller mindre klar idé om, hvad sætningen betyder. Et naturligt forslag er, at sætningen simpelthen betyder 'farveløse grønne idéer sover arrigt', og at det ligeledes er klart, hvad sætningens sandhedsbetingelser er, nemlig at alle (eller måske de fleste) farveløse grønne idéer sover arrigt. En anden, mere grænseoverskridende mulighed ville være at forsøge at fortolke sætningen metaforisk. Frasen har faktisk altid slået mig som ganske poetisk. Jeg kan forestille mig den optræde i et digt af en Ginsberg eller måske ligefrem en Rimbaud. Vi er med på, at 'grøn' kan betyde umoden eller naiv. 'Farveløs' kan enten tages som negerende 'grøn' eller som bidragende en anden adjektiv betydning. Hvis vi følger den første rute i streng forstand kan vi meget nemt ende med en egentlig inkohærens. Så lad os prøve den anden. Det virker ligefor at fortolke 'farveløs' her som modificerende den veletablerede metaforisk betydning af 'grøn'. Vi kan f.eks. forestille os, at de idéer, der tales om, betragtes som umodne, grønne, men samtidig ligegyldige eller måske endog ufarlige. Dette synes at træde godt i tråd med prædikatet 'sover'. Disse umodne og uerfarne idéer er endnu ikke vågnet - måske gør de det aldrig. Sidst men ikke mindst får vi så 'arrigt', eller måske er 'rasende' en bedre oversættelse. At sove rasende er at sove en søvn, der ikke er i hvile. Det er at sove på en bestemt måde, nemlig med opfarende vrede. Der er med andre ord tale om visse idéer eller forestillinger, som siges at på én gang at være umodne og samtidig ligegyldige, eller måske nærmest udflydende, uden karakteristika. Disse forestillinger befinder sig i en sovende tilstand, der dog konstant truer med at eksplodere i vrede. Latente og ungdomssentimentale tanker om revolution måske.