De naturlige tal er (også) kardinaltal, dvs. i grov forstand angivende antallet af medlemmer af en given mængde. Hvis vi tænker på dem på denne måde, kan de naturlige tal anvendes til at klassificere forskellige kvanta. Lad os sammenligne to situationer, der hver især involverer 20 kugler arrangeret på et bord. I den første er de placeret sådan her (ignorér {'erne og kommaerne):
{0000},{00},{0000},
{00},{000},{0},{0},{00},{0}
I den anden sådan:
{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},
{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},{o},
Hvad er forskellen? Begge situationer indholder 20 kugler, men for at beskrive forskellen på dem, er det naturligt at appelere til et begreb om en mængde. Gør vi det, kan vi beskrive forskellen på de to situationer ved at opfatte den første situation som én, hvori der er 9 mængder af kugler. Desuden virker det naturligt at sige, at nogle af disse mængder har noget tilfælles. Der er f.eks. 2 mængder, der hver indeholder 4 kugler; og 3 der hver indeholder 2 kugler; og 3 der hver indeholder kun 1 kugle. I den anden situation er der 20 mængder, der hver indeholder blot 1 kugle.
Dette skyldes formentlig, at vi intuitivt opfatter en mængde som noget, der har medlemmer. Og vi kan så angive hvor mange medlemmer en given mængde har. Vi bruger de naturlige tal til dette (så længe der er tale om finitte mængder). Går vi et skridt videre, er det klart, at hvis en mængde er noget, der har medlemmer, så er en mængde også noget, der kan deles i flere forskellige mængder. Vi kan sige, at de to situationer ovenfor repræsenterer to forskellige måder, hvorpå man kan dele en mængde, der består af 20 medlemmer.
Når man deler en mængde, får man andre mængder, og man kan igen spørge om antallet af deres medlemmer. Og vi kan nu begynde at klassificere mængder i forskellige kategorier. Her er tre eksempler:
(1) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 1 medlem.
(2) Mængder der kan deles i delmængder der hver har 2 medlemmer.
(3) Mængder der kan deles i delmængder der hver har lige mange medlemmer.
Naturligvis hører alle mængder under (1) - grunden er, at for ethvert objekt findes der en mængde, der har dette objekt som medlem. Men kun nogle mængder hører under (2). Sidstnævnte er mængder der har hhv. 2, 4, 6, 8, 10 etc. medlemmer. Med andre ord, hvis vi begynder med en enkelt kugle, har vi en mængde, der ikke hører under (2). Lægger vi nu en kugle til, har vi en der opfylder (2), og tilføjer vi en tredje kugle får vi en mængde, der ikke opfylder (2). Mao. hver gang vi tilføjer en kugle til en mængde, kan vi forudse, hvorvidt resultatet vil opfylde (2), nemlig hvis og kun hvis den oprindelige mængde ikke opfyldte (2). De tal, der beskriver mængder, der opfylder (2), kalder vi 'lige' tal; og de tal, der beskriver mængder, der ikke opfylder (2), kalder vi 'ulige'.
Idet alle mængder opfylder (1), hører alle mængder også under (3). Men nogle mængder hører under (3), både fordi de opfylder (1) og fordi de opfylder betingelser som (2). Der er selvfølgelig tilsvarende betingelser med 3 medlemmer, 4 medlemmer, 5 medlemmer osv. Men for nogle mængder er den eneste grund til, at de hører under (3), at de hører under (1). Disse mængder er de, der beskrives af primtal.
Mere intuitivt kan vi sige følgende: Når vi begynder at eksperimentere med at dele mængder, finder vi hurtigt ud af, at der generelt er to måder at dele en given mængde på. Enten deler man mængden, så alle de resulterende mængder har lige mange medlemmer, ellers også er der mindst to resulterende mængder, der ikke har det samme antal medlemmer. Lad os sige at hvis en mængde deles så alle delmængderne har lige mange medlemmer, så er den ligeligt delt.
Nu opdager man, at for de fleste mængders vedkommende, kan man dele dem ligeligt på mere end en måde. F.eks. kan man dele en vores 20 kugler sådan:
{0000},{0000},{0000},{0000},{0000}
eller sådan:
{0000000000},{0000000000}
Desuden kan alle mængder deles ligeligt på mindst én måde, nemlig sådan at alle delmængderne har 1 medlem. Men nogle mængder kan kun deles ligeligt på én måde. F.eks. kan man kun dele en mængde med 3 medlemmer på følgende måder
{0},{00}
{0},{0},{0}
Kun den anden måde er ligelig, og det er den eneste ligelige måde at dele mængden på.
Et primtal er altså et tal der beskriver en mængde, der kun kan deles ligeligt på en måde, nemlig den måde hvorpå alle mængder kan deles ligeligt. Vi gør dette ved at dele mængden i det samme antal delmængder som den har medlemmer. Dvs. disse mængder kan kun opbrydes ligeligt i deres enkelte medlemmer - der er ingen ligelige måde at fordele medlemmerne i grupper på.
Vi har her udeladt mange ting. Først og fremmest har vi udeladt, at man normalt betragter enhver mængde som en delmængde af sig selv. Dette betyder, at vi må acceptere - selv om dette angiveligt er temmelig unaturligt - at man fra en given mængde kan få en mængde med det samme antal medlemmer. Derudover har vi udeladt, at man normalt betragter den tomme mængde som delmængde af enhver mængde. Dette sikrer også en anden vigtig regel, nemlig at hvis en mængde har x medlemmer, så har den 2^x delmængder. F.eks. har mængden {a,b,c} følgende 8 delmængder: {a,b,c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a}, {b}, {c}, Ø.
Men alt dette er ikke så vigtigt i forhold til det, vi var interesseret i, nemlig forholdet mellem (bestemte typer) naturlige tal og (bestemte typer) mængder. Selv om meget af det ovenstående virker som barnelærdom, er det en af de mest altafgørende kendsgerninger, at virkeligheden (i hvert fald den makroskopiske virkelighed) er således indrettet, at den fordeler sig på denne måde; og endnu mere slående er det, at vi besidder et talbegreb og evnen til at ræsonnere med det på en måde, der direkte korresponderer til denne fundamentale struktur. Det var dette, der oprindeligt fascinerede pythagoræerne, og som var drivkraften for al videnskab og filosofi herfra over Descartes til Newton og Kant og videre til Einstein og Bohr.
